Minggu, 16 Januari 2011

MENGENAI PENGGUNAAN POLINOMIAL

POLINOMIAL – POLINOMIAL INTERPOLASI
            Interpolasi adalah proses estimasi terhadap pasangan titik datar, bentuk paling sederhana dari interpolasi adalah menghubungkan dua titik data dengan garis lurus. Metode ini lazim dikenal dengan interpolasi linier.
Terdapat dua alasan penting pemakaian polinomial interpolasi.
  1. Polinomial interpolasi digunakan untuk menghitung hampiran nilai suatu fungsu ƒ (χ), karena nilai polinomial mudah dihitung, diturunkan dan diintegralkan.
  2. Polinomial digunakan dalam penetuan kurva mulus yang melalui sekumpulan data titik.
Polinomial Konstan
Dalam hal ini hanya menggunakan sebuah nilai x yang diberikan pada tabel
X x1
y y1
           Misalkan P0 (x) adalah fungsi polinomial interpolasinya.Maka P0(x1)= a1 = y1. Polinomial tersebut melalui sebuah titik (x1, y1) yang diberikan pada tabel. Dengan demikian kita dapat memilih sebuah fungsi konstan.
P0(x)= a1 = y1
Sebagai fungsi interpolasinya.
Polinomial Linier
            Menggunakan dua buah nilai x yang berbeda pada tabel (x, y) yakni
x x1 x2
y y1 y2
            Jika p1 (x) adalah fungsi polinomial interpolasi melalui 2 titik (x1, y1) dan (x2, y2) maka P1(x1)= y1 dan P1(x2)= y2. Oleh karena itu P1 (x) adalah fungsi polinomial interpolasi melalui dua titik , maka P1 (x) dapat dipilih dari fungsi linier yang melalui kedua titik tersebut dengan gradien :

           Sehingga persamaan garis lurusnya adalah
y – y1 = m (x-x1) atau  y= m (x-x1) + y1

Sehingga fungsi polinomial interpolasi dua titik adalah :
P1x = m (x-x1) + P0(x)


Polinomial Berderajat K

Adalah polinomial yang menginterpolasikan sebuah tabel (x, y) dengan k pasangan nilai :
x x1 x2 x3 …… xk
y y1 y2 y3 …… yk
Jadi berlaku :
Pk-1 (x1) = y1
Pk-1 (x2) = y2
Pk-1 (x3) = y3
Pk-1 (xk) = yk

Didefinisikan Pk(x) sebagai berikut :
Pk (x)= Pk-1(x) + ak+1 (x-x1)(x-x2)…..(x-xk)

Perhatian : (x-x1) untuk  1 ≤ i ≤ k adalah suatu faktor pada suku kedua Pk (x), sehingga suku kedua akan hilang jika x = xi intuk 1 ≤ i ≤ k. Perhatikan juga bahwa  Pk (x1) = Pk-1 (x1) = y1, Pk (x2) =  Pk-1 (x2) = y2 , Pk (x3) =  Pk-1 (x3) = y3 , Pk (xk) =  Pk-1 (xk) = yk . Dengan demikian Pk (x) menginterpolasikan semua titik yang diinterpolasikan oleh Pk-1 (x).


Perkalian Tersarang
Jika k tetap maka untuk menghitung nilai- nilai polinomial Pk (x) dapat digunakan perkalian tersarang dengan persamaan sebagai berikut :

Pk (x)= a1 + (x-x1) (a2 + (x-x2)(a3 + (x-x3)(……(ak+ ak+1 (x-xk)…)))

Selanjutnya untuk menghitung nilai Pk (x) jika nilai x diketahui  maka dapat digunakan perhitungan rekursif sebagai berikut :

S1 = ak+1
S2 = ak +  (x-xk) S1
S3= ak-1 +  (x-xk-1) S2
S4= ak-2 +  (x-xk-2) S3
Sk =  a2 + (x-x2) S k-1
Sk+1 = a1 + (x-x1) Sk
Akhirnya Pk (x) = Sk+1 


Polinomial Newton : selisih terbagi  (Devided Difference)
Polinomial Newton adalah fungsi interpolasi berbentuk polinomial untuk satu set data dimana jumlah data pada set tersebut dapat bertambah tiap saat. Apabila ada tambahan data pada set maka data tersebut dapat digunakan untuk mendapatkan polinomial dengan pangkat yang lebih tinggi. Bentuk umum dari polinomial Newton adalah :
Pn (x)= a0 + a1 (x-x1) + a2 (x-x1)(x-x2)+…..(an (x-x1)(x-x2)…. (x-xn)
Formulasi interpolasi Perbedaan terbagi  Newton

x ƒ (χ) Perbedaan Pertama (∆1) Perbedaan Kedua (∆2) Perbedaan ketiga (∆3)
x1 f (x1) a1= F(x1, x2)=

x2 f(x2)
a2 = a1= F(x1, x2, x3)  = a3 = F(x1, x2, x3,x4) =
x3 f(x2)
F(x2, x3, x4)  =

Tidak ada komentar:

Posting Komentar